Lo sappiamo tutti fin dalla scuola media, eppure sareste in grado di spiegare perché “meno per meno fa più”?
Il linguaggio matematico che abbiamo costruito è coerente con la logica o è la logica che guida il linguaggio matematico? Vediamolo insieme.
La spiegazione di Gardner
La spiegazione migliore del motivo per cui meno per meno faccia più è quella fornita da Martin Gardner.
Consideriamo una grande sala in cui sono presenti due tipi di persone, persone buone e persone cattive. Definiamo l’addizione come “far entrare persone nella sala”, la sottrazione come “far uscire persone dalla sala”, “numero positivo” come “persona buona” e “numero negativo” come “persona cattiva”. Ora sommare un numero positivo significa far entrare in sala una persona buona, cosa che ovviamente comporta un aumento della quantità totale di bontà all’interno della sala.
Sommare un numero negativo significa far entrare una persona cattiva e questo causa una diminuzione della quantità netta di bontà. Sottrarre un numero positivo significa far uscire una persona buona: la bontà netta nella sala diminuisce. Sottrarre un numero negativo significa far uscire una persona cattiva: la bontà netta aumenta. La moltiplicazione non è altro che un’addizione (o sottrazione) ripetuta.
Meno quattro per meno sei? Fate uscire sei persone cattive. Ripetetelo per quattro volte. Risultato finale? Un aumento netto di bontà pari a 24. Qualcuno certo potrebbe obiettare e domandare cosa succeda se le persone cattive invitate ad uscire dalla sala, decidano di non farlo. Ma questo è un altro discorso che esula dalla matematica.
La spiegazione matematica
Mettiamoci nei panni di chi conosce le regole della matematica, ha già definito i numeri negativi e si trova di fronte il dubbio su come definire la moltiplicazione che coinvolge questi ultimi. Quello che cerchiamo è la coerenza.
Supponiamo di dover calcolare:
3 * -2
Quale sarà il segno, se siamo sicuri che il valore numerico sia 6? Ragioniamo in questo modo:
3 * (2 - 2) = 3 * 0 = 0
perché vogliamo che ogni numero moltiplicato per 0 dia come risultato 0. Inoltre vogliamo anche che valgano le proprietà della moltiplicazione, come quella distributiva.
Ma posso anche scrivere:
3 * (2 - 2) = 6... = 0
e cosa manca, se non un −6?
3 * (2 - 2) = 6 - 6 = 0
Allora:
3 * 2 = 6 e 3 * - 2 = -6
Se vogliamo che la moltiplicazione con i numeri negativi sia coerente anche con le proprietà della moltiplicazione, quella distributiva in questo caso, dobbiamo convincerci che + per − deve fare −.
E veniamo alla moltiplicazione di due numeri negativi, ragionando allo stesso modo, visto che ormai sappiamo che + per − deve fare −. Cerchiamo il segno di −4 * −5 dato per certo che il valore numerico sia 20:
-4 * (5 - 5) = -4 * 0 = 0
Ma anche:
-4 * (5 - 5) = -20... = 0
E chiaramente qui ci va un +20:
-4 * (5 - 5) = -20 + 20 = 0
Allora:
-4 * 5 = -20 e -4 * -5 = +20
Ecco spiegato perché − per − deve fare +: è coerente con le altre regole già valide per la moltiplicazione.
La spiegazione intuitiva
Diamo anche una spiegazione intuitiva immaginando di trovarci sulla retta dei numeri e sapendo che, partendo dallo 0, muovendoci verso destra ci spostiamo verso i numeri positivi e muovendoci verso sinistra ci muoviamo verso i numeri negativi.
Ora, nella moltiplicazione il segno del primo fattore mi dice verso dove devo guardare (destra o sinistra) e il segno del secondo fattore mi dice in che direzione devo camminare (stessa direzione verso cui guardo od opposta). Facciamo alcuni esempi:
+2 * +3
Più e più, allora guardo verso destra (verso i numeri positivi) e cammino nella stessa direzione facendo 3 passi di lunghezza 2:
Ed ecco che:
+2 * +3 = +6
Introduciamo i negativi e calcoliamo:
-3 * +2
Meno e più, allora guardo verso sinistra (verso i numeri negativi) e cammino nella stessa direzione facendo 2 passi di lunghezza 3:
Ed ecco che:
-3 * +2 = -6
E arriviamo alla moltiplicazione di due numeri negativi:
-2 * -2
Meno e meno, allora guardo verso sinistra MA cammino nell’altra direzione, quindi come un gambero, verso destra, facendo 2 passi all’indietro di lunghezza 2:
E allora:
-2 * -2 = +4
E, come conseguenza, − per − fa +.
Un trucchetto
Esiste un trucco per ricordare la regola dei segni, utile soprattutto per i bambini delle scuole elementari. Pensate ai numeri positivi come amici, e ai numeri negativi come nemici:
- Moltiplicare un numero negativo per uno positivo suona come dire “il nemico del mio amico”, che ovviamente è anche un mio nemico, e dunque un numero negativo.
- Moltiplicare un numero negativo per uno negativo suona come dire “il nemico del mio nemico”, che naturalmente è un mio amico, e dunque un numero positivo.